الإجابة الصحيحة (خطأ).
تباين توزيع $t$ يُعطى بالصيغة: $$ \sigma^2 = \frac{v}{v-2} $$ وذلك بشرط أن تكون درجات الحرية $v > 2$.
لتحليل هذه الصيغة:

• البسط ($v$) هو دائماً أكبر من المقام ($v-2$).
• عندما يكون البسط أكبر من المقام، فإن ناتج القسمة يكون دائماً أكبر من الواحد الصحيح.

على سبيل المثال، إذا كانت $v=3$، فإن التباين $= \frac{3}{3-2} = 3$. وإذا كانت $v=10$، فإن التباين $= \frac{10}{10-2} = 1.25$. لذلك، تباين توزيع $t$ يكون دائماًأكبر من الواحد(عندما يكون معرفاً، أي $v > 2$).

للمقارنة:

ماذا عن تباين التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$)؟ قارن بين تباين كل من توزيع $t$ وتوزيع $Z$. كيف يتغير شكل توزيع $t$ كلما زادت درجات الحرية ($v$)؟ وإلى أي توزيع يقترب؟

الإجابة الصحيحة (خطأ).
إذا كان المتغير العشوائي $X$ يتبع توزيع ذات الحدين بالمعلمتين $n$ (عدد المحاولات) و $p$ (احتمال النجاح)، فإن:

• الوسط الحسابي (القيمة المتوقعة):$\mu = np$
• التباين:$\sigma^2 = npq$ أو $\sigma^2 = np(1-p)$

العبارة المذكورة في السؤال ($\text{التباين} = np$) تصف الوسط الحسابي وليس التباين. التباين الصحيح يجب أن يتضمن أيضاً احتمال الفشل $q$.

ملاحظة هامة:

بما أن $q = (1-p)$ وقيمة $p$ بين $0$ و $1$، فإن قيمة $q$ أيضاً بين $0$ و $1$. هذا يعني أن التباين ($npq$) هو دائماً أصغر من الوسط الحسابي ($np$) في توزيع ذات الحدين (طالما $q<1$).

(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)

الإجابة الصحيحة (خطأ).
من أهم خصائص توزيع بواسون أن وسطه الحسابي (قيمته المتوقعة) يساوي تباينه. وكلاهما يساوي المعلمة $\lambda$.

• الوسط الحسابي: $\mu = \lambda$
• التباين: $\sigma^2 = \lambda$

في السؤال، تم إعطاء أن الوسط الحسابي يساوي $2$، وهذا يعني أن $\mu = \lambda = 2$. بناءً على خاصية توزيع بواسون، يجب أن يكون التباين مساوياً للوسط الحسابي. إذن، التباين الصحيح هو $\sigma^2 = 2$. العبارة تقول أن التباين يساوي $4$، وهذا غير صحيح.

للمقارنة:

في توزيع ذات الحدين، هل الوسط الحسابي يساوي التباين؟ تذكر أن $\mu = np$ و $\sigma^2 = npq$. كيف تختلف العلاقة بين الوسط والتباين في توزيع بواسون عن توزيع ذات الحدين؟

• المعلمة (المعدل): $\lambda = 6$
• المطلوب: احتمال أن يكون عدد العيوب "$3$ على الأكثر"، أي $P(X \le 3)$.

• $P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} \approx 0.00248$
• $P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} \approx 0.01487$
• $P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} \approx 0.04462$
• $P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} \approx 0.08924$

تدريب: